Geometriki distributione

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Geometriki

Funktione de probableso de mase
Funktione de akumulati distributione
Parametres	$0\leq p\leq 1$probableso de sukseso (real)
Suporto	$n\in \{1,2,3,\dots \}\!$
Funktione de probableso de mase (fpm)	$(1-p)^{n-1}p\!$
Funktione de akumulati distributione (fad)	$1-(1-p)^{n}\!$
Medivalore	${\frac {1}{p}}$
Mediane
Mode	1
Variantia	${\frac {1-p}{p^{2}}}$
Nonsimetreso	${\frac {2-p}{(1-p)^{1/2}}}$
Kurtose	$6+{\frac {p^{2}}{1-p}}$
Entropie	$-{\frac {1-p}{p}}\ln(1-p)-\ln p$
mgf	${\frac {pe^{t}}{1-(1-p)e^{t}}}$
Kar. funk.	${\frac {1-q}{1-qe^{it}}}$ (vor q = 1 − p)

In probableso teorie e statistike, li geometriki distributione es un ek du diskreti distributiones de probableso:

• li probableso distributione del nombre X de Bernoulli probos besonat por obtena un sukseso, suportat sur li ensemble { 1, 2, 3, ...}, o

• li probableso distributione del nombre Y = X − 1 de falios ante li unesmi sukseso, suportat sur li ensemble { 0, 1, 2, 3, ... }.

Qui ek disus on nomisa "li" geometrike distributione es afere de konventione e konvenienteso.

Di li probableso de sukseso an chaki probo esp, tand li probableso ke on besona n probos por obtena un sukseo es:

$\Pr(X=n)=(1-p)^{n-1}p\,$

por n = 1, 2, 3, .... Equivalentim li probableso ke es n falilos ante li unesmi sukseso es:

$\Pr(Y=n)=(1-p)^{n}p\,$

por n = 0, 1, 2, 3, ....

In ambi kasus, li sequense de probablesos es geometri sequense.

Examplim, konsidera ke ordinari ludo-kube bli jeta repetitim til li unesmi foye ke "1" apari. Li probableso distributione del nombre de foyes ke lu bli jeta es suportat sur li infiniti ensemble { 1, 2, 3, ... } e es geometriki distributione kun p = 1/6.

Momentes and kumulantes

Li expektati valore de geometrikim distributi hasardal variable X es 1/p e li variantia es (1 − p)/p²;

$\ E(X)={\frac {1}{p}},\quad {\mbox{var}}(X)={\frac {1-p}{p^{2}}}.$

Equivalentim, expektati valore del geometrikim distributi hasardal variable Y es (1 − p)/p, e lun variantia es (1 − p)/p².

$\ E(Y)={\frac {1-p}{p}},\quad {\mbox{var}}(Y)={\frac {1-p}{p^{2}}}.$

Lasa c = (1 − p)/p es li expektati valore de Y. Tand li kumulantes κ_n del probableso distributione de Y satisfika li rikursione:

$\kappa _{n+1}=c(c+1){d\kappa _{n} \over dc}.$

Altri tretes

• Li probableso-generanti funktions de X e Y es, respektivim,

$G_{X}(s)={\frac {sp}{1-s(1-p)}},\quad$

$G_{Y}(s)={\frac {p}{1-s(1-p)}},\quad |s|<(1-p)^{-1}.$

• Kom lun kontinui analoge (li exponential distributione), li geometriki distributione es sinmemoraleso. Tu signifika ke si on intente repeti experimente til li unesmi sukseso, tand, si li unesmi sukseso non ankore ha eventa, li konditional probableso distributione del nombre de plusi probos non dependa ye quanti falios ha bli observa. Lli ludo-kube o monete kel on jeta non have memore de disi falios. Li geometriki distributione es faktim li soli sinmemoral diskreti distributione.

• Inter omni diskreti probableso distributiones suportat sur {1, 2, 3, ... } kun serteni expektat valore μ, li geometriki distributione X kun parametre p = 1/μ es tu kun li plu grandi entropie.

• Li geometriki distributione del nombre Y de falios ante li unesmi sukseso es infinitim divisebli, tu es, por irgi positiv integre n, exista nondependanti identim distributi hasardal variables Y₁, ..., Y_n kelen sume have li sami distributione kel Y have. Disus non es geometrikim distribut exept si n = 1; lus seku negativ binomial distributione.

• Li desimal digites del geometrikim distributi hasardal variable Y es sequense de nondependanti (e non identim distributi) hasardal variables. Exemplim, li sental digite D have disi probableso distributione:

$\Pr(D=d)={q^{100d} \over {1+q^{100}+q^{200}+\cdots +q^{900}}},$

vor q = 1 − p, e samiman por li altri digites, e, plu generalim, samiman por li numral sistemes kun bases altri kam 10. Kand li base es 2, disu montra ke geometrikim distributi hasardal variable pove bli skripte kom sume de nondependanti hasardal variables kelen probableso distributiones es nondeskomposibli.

Relatet distributiones

• Li geometriki distributione Y es spesial kasu del negativ binomial distributione, kun r = 1. Plu generalim, si Y₁,...,Y_r es nondependanti geometrikim distributi variables kun parametre p, tand

$Z=\sum _{m=1}^{r}Y_{m}$

seku negativ binomial distributione kun parametres r e p.

• Si Y₁,...,Y_r es nondependanti geometrikim distributi variables (kun posiblim diferanti sukseso parametres p_m), tand lusen minimum

$W=\min _{m}Y_{m}\,$

es anke geometrikim distributi, kun parametre p proviset da

$1-\prod _{m}(1-p_{m}).$

• Suposa 0 < r < 1, e por k = 1, 2, 3, ... li hasardal variable X_k have Poisson distributione kun expektati valore r^k/k. Tand

$\sum _{k=1}^{\infty }kX_{k}$

have geometriki distributione kun valores in li ensemble {0, 1, 2, ...}, kun expektati valore r/(1 − r).

Extri kuplos

• Geometric distribution che MathWorld.