Negativ binomial distributione

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In probableso e statistike li negativ binomial distributione es diskreti probableso distributione. Li Pascal distributione es spesial kasu del negativ binomiali.

Specifikatione del negativ binomial distributione

Probableso mase funktione

Li familie de negativ binomial distributiones es du-parametri familie; pluri parametrisationes es in ordinari uso. Un tre ordinari parametrisatione employa du real-valori parametres p e r kun 0 < p < 1 e r > 0. Segun disi parametrisatione, li probableso mase funktione de hasardal variable kun NegBin(r, p) distributione have li sekuenti forme:

$f(k;r,p)={\frac {\Gamma (r+k)}{k!\;\Gamma (r)}}\;p^{r}\,(1-p)^{k},\!$

por k = 0,1,2,... (Γ es li gamma funktione).

Segun alternativ parametrisatione, lasa:

$p={\frac {\omega }{\lambda +\omega }}\!$ e $r=\omega ,\!$

e dunke li mase funktione deveni:

$g(k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\times {\frac {\Gamma (\omega +k)}{\Gamma (\omega )\;(\lambda +\omega )^{k}}}\times {\frac {1}{\left(1+{\frac {\lambda }{\omega }}\right)^{\omega }}},\!$

vor λ e ω es non-negativ real parametres. Segun disi parametrisatione, nus have:

$\lim _{\omega \to \infty }g(k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\times 1\times {\frac {1}{\exp(\lambda )}},\!$

kel es presisim li mase funktione de Poisson-distribut hasardal variable kun Poisson rapideso λ. In altri vordes, li alternativim parametrisat negativ binomial distributione konverga al Poisson distributione e ω kontrola li deviatione fro li Poisson. Disu fa li negativ binomial distributione konvenienti kom robusti alternative ye li Poisson, kel proximeska li Poisson kun grandi ω, ma kel have plu grandi variantia kam li Poisson kun mikri ω.

Triesmim, li negativ binomial distributione resulta fro kontinui mixure de Poisson distributiones vor li mixanti distributione del Poisson rapideso es gamma distributione. Formalim, disu signifika ke on pove skripte li mase funktione del negativ binomial distributione kom:

$f(k)\!\!\!\!$	$=\int _{0}^{\infty }\mathrm {Poisson} (k\,|\,\lambda )\times \mathrm {Gamma} (\lambda \,|\,r,(1-p)/p)\;\mathrm {d} \lambda \!$
	$=\int _{0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\exp(-\lambda )\times {\frac {\lambda ^{r-1}\exp(-\lambda p/(1-p))}{\Gamma (r)\;((1-p)/p)^{r}}}\;\mathrm {d} \lambda \!$
	$={\frac {1}{k!\;\Gamma (r)}}\;p^{r}\;{\frac {1}{(1-p)^{r}}}\;\int _{0}^{\infty }\lambda ^{(r+k)-1}\,\exp(-\lambda /(1-p))\;\mathrm {d} \lambda \!$
	$={\frac {1}{k!\;\Gamma (r)}}\;p^{r}\;{\frac {1}{(1-p)^{r}}}\;(1-p)^{r+k}\;\Gamma (r+k)\!$
	$={\frac {\Gamma (r+k)}{k!\;\Gamma (r)}}\;p^{r}\,(1-p)^{k}.\!$

Pro disu li negativ binomial distributione es anke nomat li gamma-Poisson (mixure) distributione.

Akumulat distributione funktione

On pove exprese li akumulat distributione funktione in termines del regularisat non-kompleti beta funktione:

$F(k)=I_{p}(r,k+1).\!$

Insidentia

Vartant-tempe in Bernoulli prosedo

Li NegBin(r, p) distributione es li probableso distributione de serteni nombre de falios e suksesos in serie de non-dependanti e identim distribut Bernoulli probos. Spesifikatim, por k+r Bernoulli probos kun sukseso probableso p, li negativ binomialu dona li probableso de k falios e r suksesos, kun sukseso an li finale probo. In altri vordes, li negativ binomial distributione es li probableso distributione del nombre de falios ante li resmi sukseso in Bernoulli prosedo, kun probableso p de sukseso an chaki probo.

Konsidera li sekuenti exemple. Suposi ke nus repetim jeta lude-kube, e konsidera ke "1" es "sukseso". Li probableso de sukseso as chaki probo es 1/6. Li nombre de probos besonat por obtena tri suksesos apartena li infiniti ensemble { 3, 4, 5, 6, ... }. Ti nombre de probos es (displasat) negativ-binomialim distributi hasardal variable. Li nombre de falios ante li triesmi sukseso apartena li infiniti ensemble { 0, 1, 2, 3, ... }. Ti nombre de falios es anke negativ-binomialim distributi hasardal variable.

Bernoulli prosedo es diskreti tempal prosedo, e dunke li nombre de probos, falios e suksesos es integres. Por li spesial kasu vor r es integre, li negativ binomial distributione es nomat li Pascal distributione. In disi kasu li gamma funktione non es besonat por exprese li probableso mase funktione, e on darfa usa faktoriales or binomial koefisientes instedu:

$f(k)={\frac {(k+r-1)!}{k!\;(r-1)!}}\;p^{r}\,(1-p)^{k}={k+r-1 \choose r-1}\;p^{r}\,(1-p)^{k}.\!$

Plusi spesialisatione resulta kand r = 1: in disi kasu nus obtena li probableso distributione de falios ante li unesmi sukseso (tu es li probableso de sukseso an li (k+1)^esmi probo), kel es geometri distributione:

$f(k)={k+1-1 \choose 1-1}\;p^{1}\,(1-p)^{k}=p\,(1-p)^{k}.\!$

Tro-disperset Poisson

On pove usa li negativ binomial distributione, spesialim in lun alternativ parametrisatione deskriptet supru, kom alternative ye li Poisson distributione. Lu es spesialim util por diskreti datumes super non-limitat positiv range kelen sample variantia supera li sample medivalore. Si Poisson distributione bli usa por modela tali datumes, li modelen medivalore e variantia es egal. Tikas li observationes es tro-disperset relat li Poisson modele. Pro ke li negativ binomial distributione have un parametre plu kam li Poisson, on pove usa li duesmi parametre por ajusta li variantia non-dependantim ye li medivalore.

Relatet distributiones

• Li geometri distributione es spesial kasu del negativ binomial distributione kun:

$\mathrm {Geometric} (p)=\mathrm {NegBin} (1,p).\,$

• Li negativ binomial distributione konverga al Poisson distributione segun li sekuenti signifikatione:

$\mathrm {Poisson} (\lambda )=\lim _{r\to \infty }\mathrm {NegBin} (r,r/(\lambda +r)).\,$

Tretes

Relatione a altri distributiones

Si X_r es hasardal variable sekkuent li negativ binomial distributione kun parameters r e p, dunke X_r es sume de r non-dependanti variables obediant li geometri distributione kun parametre p. Pro li sentral limite teoreme, X_r es dunke proximim normal kun sat grandi r.

Ultru si Y_s+r es hasardal variable sekuent li binomial distributione kun parametres s + r e p, tikas:

$\Pr(X_{r}\leq s)\!\!\!\!$	$=I_{p}(r,s+1)\,$
	$=1-I_{1-p}(s+1,r)\,$
	$=1-I_{1-p}((s+r)-(r-1),(r-1)+1)\,$
	$=1-\Pr(Y_{s+r}\leq r-1)\,$
	$=\Pr(Y_{s+r}\geq r)\,$
	$=\Pr(\mathrm {after\ } s+r\mathrm {\ trials,\ there\ are\ at\ least\ } r\mathrm {\ successes} ).$

Fro disi vidpunktu, li negativ binomial distributione es li "inverse" del binomial distributione.

Li sume de non-dependanti negativ-binomialim distributi hasardal variables kun li sami valore del parametre p ma li "r-valores" r₁ e r₂ es negativ-binomialim distribut kun li sami p ma kun "r-value" r₁ + r₂.

Li negativ binomial distributione es infinitim divisibli, tu es si X have negativ binomial distributione, dunke por irgi positiv integre n, exista non-dependant identim distributi hasardal variables X₁, ..., X_n kelen sume have li sami distributione kel X have. Disus non es negativ-binomialim distributi variables segun li signifikatione definit supru exept si n es divisere de r (plus pri disu this subu).

Relatione al binomial teoreme

Suposa ke X es hasardal variable kun negativ binomial distributione kun parameters r e p. On pove demonstra per poki algebra ke li konstato ke li sume, fro x = r a infiniteso, del probableso Pr[X = x] egala 1, es equivalenti ye li konstato ke (1 − p)^{− r} konforma al binomial teoreme de Newton.

Suposa ke Y es a hasardal variable kun binomial distributione kun parameters n e p. Li konstato ke li sume, fro y = 0 a n, del probableso Pr[Y = y] egala 1, dikte ke 1 = (p + (1 − p))ⁿ konforma al striktim finiti binomial teoreme de rudimentari algebra. Dunke li negativ binomial distributione relate samiman li negativ-integre-exponente kasu del binomial teoreme ke li binomial distributione relate li positiv-integere-exponente kasu.

Suposa ke p + q = 1. Dunke li binomial teoreme de elementari algebra implika ke:

$1=1^{n}=(p+q)^{n}=\sum _{x=0}^{n}{n \choose x}p^{x}q^{n-x}.$

On pove skripte disu talim ke ye unsmi vido lu sembla es non-korekti, e forsan perversi even si korecti:

$(p+q)^{n}=\sum _{x=0}^{\infty }{n \choose x}p^{x}q^{n-x},$

vor li superi limite de sumatione es infinit. Si on defini li binomial coefficient kom:

${n \choose x}={n! \over x!(n-x)!},$

dunke lu non es sense kand x > n, pro ke factoriales de negativ nombres non es definit. Ma on darfa anke lekte lu kom:

${n \choose x}={n(n-1)(n-2)\cdots (n-x+1) \over x!}.$

Tikas lu es definit even kand n es negativ o non es integere. Ma in li kasu del binomial distributione lu es sero kand x > n. Dunke pro quu nus vud skripte li resulte in ti forme, kun semblanti non-besonat sume de infinitim multi seros? Li responda deveni klari kand nus generalisa li binomial teoreme de elementari algebra al binomial teoreme de Newton. Tand nus pove dikte, por exemple:

$(p+q)^{8.3}=\sum _{x=0}^{\infty }{8.3 \choose x}p^{x}q^{n-x}.$

Or, suposa r > 0 e nus usa negativ exponente:

$1=p^{r}p^{-r}=p^{r}(1-q)^{-r}=p^{r}\sum _{x=0}^{\infty }{-r \choose x}(-q)^{x}.$

(Traduktek fro li angli wikipedial pagine.)

(Translated from the English Wikipedia page.)